Cómo calcular una poligonal cerrada paso a paso (con ejemplo)
Respuesta corta. Para calcular una poligonal cerrada: (1) compara la suma de los ángulos interiores con (n − 2)·180° y reparte el error angular; (2) calcula los azimuts de cada lado; (3) obtén las proyecciones ΔN = D·cos Az y ΔE = D·sen Az; (4) suma las proyecciones (eN = ΣΔN, eE = ΣΔE), calcula el error de cierre lineal √(eN² + eE²) y la precisión perímetro/error; (5) compensa las proyecciones en proporción a cada distancia (método de la brújula) y suma para obtener las coordenadas.
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Paso a paso
- Revisa el cierre angular. Suma los ángulos interiores medidos. En una poligonal de n vértices deben sumar (n − 2)·180°. La diferencia es el error angular; compáralo con la tolerancia de tu especificación (por ejemplo k·√n).
- Reparte el error angular. Si está dentro de la tolerancia, corrige cada ángulo con −error/n.
- Calcula los azimuts. A partir de un azimut conocido, recorriendo la poligonal en sentido horario: Az siguiente = Az anterior + 180° − ángulo interior (suma o resta 360° para quedar entre 0° y 360°). El último azimut debe devolverte al de partida.
- Calcula las proyecciones. Para cada lado: ΔN = D·cos Az y ΔE = D·sen Az.
- Mide el cierre lineal. eN = ΣΔN, eE = ΣΔE, error lineal = √(eN² + eE²). Precisión relativa = perímetro / error lineal, expresada como 1:P.
- Compensa por el método de la brújula. Corrección de cada lado: cN = −eN·D/perímetro y cE = −eE·D/perímetro.
- Calcula las coordenadas. Suma las proyecciones corregidas partiendo de las coordenadas del vértice inicial. Debes volver exactamente al punto de partida.
Datos del ejemplo
Poligonal de 4 vértices A-B-C-D, recorrida en sentido horario. Coordenadas de A: N = 1 000,000 m, E = 1 000,000 m. Azimut conocido del lado AB: 41°31'09".
| Vértice | Ángulo interior medido | Lado | Distancia (m) |
|---|---|---|---|
| A | 78°54'23" | AB | 243,577 |
| B | 95°37'31" | BC | 268,786 |
| C | 75°19'48" | CD | 227,306 |
| D | 110°08'47" | DA | 236,167 |
1. Error de cierre angular
Suma medida: 360°00'29". Suma teórica: (4 − 2)·180° = 360°. Error angular: +29". Corrección por ángulo: −29"/4 ≈ −7" (redondeando).
2. Azimuts y proyecciones
| Lado | Azimut | ΔN (m) | ΔE (m) |
|---|---|---|---|
| AB | 41°31'09" | +182,374 | +161,460 |
| BC | 125°53'45" | −157,593 | +217,739 |
| CD | 230°34'04" | −144,376 | −175,566 |
| DA | 300°25'25" | +119,592 | −203,648 |
Comprobación: con los ángulos corregidos, el azimut calculado al volver a A es otra vez 41°31'09".
3. Error de cierre lineal y precisión
eN = −0,003 m, eE = −0,015 m → error lineal = 0,015 m. Perímetro = 975,836 m → precisión 1:63 176, muy por encima de lo que exige un levantamiento corriente (1:5 000 a 1:10 000).
4. Compensación y coordenadas finales
| Punto | Corrección N (m) | Corrección E (m) | N (m) | E (m) |
|---|---|---|---|---|
| B | +0,0007 | +0,0038 | 1 182,375 | 1 161,464 |
| C | +0,0008 | +0,0042 | 1 024,783 | 1 379,207 |
| D | +0,0007 | +0,0035 | 880,407 | 1 203,644 |
| A | +0,0007 | +0,0037 | 1 000,000 | 1 000,000 |
La poligonal cierra de nuevo en A (1 000,000; 1 000,000), como debe ser.
Errores comunes
- Mezclar ángulos interiores y exteriores. Si mides exteriores, la suma teórica es (n + 2)·180°.
- Sentido de recorrido. La fórmula del azimut cambia de signo si recorres la poligonal en sentido antihorario: Az siguiente = Az anterior + ángulo − 180°.
- Compensar antes de verificar la tolerancia. Si el error supera la tolerancia hay que revisar o repetir mediciones, no repartirlo.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el método de la brújula (Bowditch)?
Es la compensación más usada en topografía: reparte el error de cierre en N y E en proporción a la longitud de cada lado, suponiendo que los ángulos y las distancias se midieron con precisión parecida.
¿Cuánto debe ser la precisión de una poligonal?
Depende de la especificación del proyecto. Como referencia, levantamientos generales piden 1:5 000 a 1:10 000 y trabajos de control, 1:20 000 o mejor.
¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de una poligonal?
(n − 2)·180°, donde n es el número de vértices. Para 4 vértices son 360°, para 5 son 540°.
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