Cómo calcular el área de un lote por coordenadas (fórmula de Gauss)
Respuesta corta. Para calcular el área de un lote con las coordenadas de sus vértices ordenados en el sentido del recorrido, usa la fórmula de Gauss: A = ½ · |Σ (Eᵢ · Nᵢ₊₁ − Eᵢ₊₁ · Nᵢ)|, cerrando el polígono con el primer vértice. Conviene restar antes las coordenadas del primer vértice para trabajar con números pequeños. Con 5 vértices en CTM12 del ejemplo, el área es de 40 788,96 m² (4,0789 ha) y el perímetro de 805,845 m.
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Paso a paso
- Ordena los vértices. Escríbelos en el orden en que recorres el lindero (horario o antihorario) sin saltarte ninguno ni cruzar lados.
- Reduce las coordenadas. Resta al norte y al este de cada vértice los del primer vértice. El área no cambia y evitas productos de 10¹² que pierden decimales.
- Calcula cada producto cruzado. Para cada lado i → i+1: Eᵢ · Nᵢ₊₁ − Eᵢ₊₁ · Nᵢ. El último lado cierra con el primer vértice.
- Suma y divide. A = |Σ productos| / 2. El signo de la suma solo indica el sentido del recorrido (positivo, antihorario).
- Compara con el perímetro y la forma. Calcula también el perímetro (suma de distancias) y revisa que el área sea coherente con un croquis; un lindero con lados cruzados da un área equivocada.
Ejemplo: lote de 5 vértices en CTM12
| Vértice | Norte (m) | Este (m) |
|---|---|---|
| A | 1 052 430,215 | 1 001 875,630 |
| B | 1 052 610,482 | 1 001 702,117 |
| C | 1 052 572,330 | 1 001 598,904 |
| D | 1 052 401,775 | 1 001 641,288 |
| E | 1 052 355,108 | 1 001 790,462 |
1. Coordenadas reducidas al vértice A
Se restan N = 1 052 430,215 y E = 1 001 875,630 a cada vértice (x = este reducido, y = norte reducido).
| Vértice | x (m) | y (m) | Lado | xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ |
|---|---|---|---|---|
| A | 0,000 | 0,000 | A → B | 0,000 |
| B | −173,513 | +180,267 | B → C | 25 225,766 |
| C | −276,726 | +142,115 | C → D | 41 173,601 |
| D | −234,342 | −28,440 | D → E | 15 178,547 |
| E | −85,168 | −75,107 | E → A | 0,000 |
2. Suma y área
Σ = 25 225,766 + 41 173,601 + 15 178,547 = 81 577,914. Área = 81 577,914 / 2 = 40 788,957 m² = 4,0789 ha. El signo positivo indica que el recorrido A-B-C-D-E es antihorario.
Perímetro = 250,206 + 110,039 + 175,742 + 156,303 + 113,555 = 805,845 m (suma de las distancias de cada lado, calculadas como en la guía de azimut y distancia).
Por qué se reducen las coordenadas
Si multiplicas coordenadas completas, cada producto ronda 10¹² m² y las dos sumas son casi iguales; al restarlas se pierden cifras significativas. En este ejemplo, con las coordenadas completas y precisión doble de computador (unas 16 cifras), el resultado cambia en la cuarta decimal (40 788,9565 m² frente a 40 788,9566 m² con coordenadas reducidas). Una calculadora de 10 dígitos, en cambio, solo distingue esos productos de 100 en 100 m², y el error del área puede llegar a decenas de metros cuadrados. Reduciendo las coordenadas se evita.
Área en la proyección y área en el terreno
El área calculada con coordenadas planas es la de la proyección (cuadrícula). Para obtener el área del terreno hay que multiplicar el área plana por el cuadrado del factor combinado (factor de escala de la proyección × factor de elevación) del lugar; cuánto vale ese factor depende de la proyección y de la altura del predio.
Otras formas de comprobar
- Dividir el polígono en triángulos desde un vértice y sumar ½·|a × b|.
- Calcular el área con el rumbo y las distancias de una poligonal cerrada ya compensada (guía de poligonal cerrada).
- Comparar con el área escriturada del predio y anotar la diferencia.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la fórmula de Gauss para el área?
Es la fórmula del zapatero o shoelace: el área de un polígono es la mitad del valor absoluto de la suma de los productos cruzados de las coordenadas de vértices consecutivos.
¿Importa el orden de los vértices?
Sí. Deben ir en el orden del recorrido del lindero, en sentido horario o antihorario; si se desordenan o los lados se cruzan, el área sale mal.
¿Sirve con coordenadas geográficas (latitud y longitud)?
No directamente: primero conviértelas a coordenadas planas como CTM12, o calcula el área sobre el elipsoide con métodos geodésicos.
¿Cómo paso de metros cuadrados a hectáreas?
Una hectárea son 10 000 m²: 40 788,96 m² / 10 000 = 4,0789 ha.
Hazlo en línea
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